РЕШУ ЦТ — математика ЦЭ

Задания

Задание № 551 Добавить в вариант

Сложность: V

Разные задачи

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. Точка K лежит на ребре AB куба так, что AK : KB  =  2 : 1. Найдите значение выражения $дробь: числитель: 12, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби ,$ где φ  — угол между прямыми A₁K и B₁D₁.

Решение. Пусть ребро куба равно 1. Введем декартовую систему координат с центром в точке B. Имеем: $A_1 левая круглая скобка 1; 0; 1 правая круглая скобка ,$ $K левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0; 0 правая круглая скобка ,$ $B_1 левая круглая скобка 0; 0; 1 правая круглая скобка ,$ $D_1 левая круглая скобка 1; 1; 1 правая круглая скобка .$ Найдем координаты вектора $\overrightarrowA_1K:$

$\overrightarrowA_1K = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 1; 0 минус 0; 0 минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 0; минус 1 правая круглая скобка .$

Найдем координаты вектора $\overrightarrowB_1D_1:$

$\overrightarrowB_1D_1 = левая круглая скобка 1 минус 0; 1 минус 0; 1 минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1; 1; 0 правая круглая скобка .$

Найдем косинус угла между векторами $\overrightarrowA_1K$ и $\overrightarrowB_1D_1:$

$косинус фи = дробь: числитель: \overrightarrowA_1K умножить на \overrightarrowB_1D, знаменатель: |\overrightarrowA_1K| умножить на |\overrightarrowB_1D_1| конец дроби = дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1 плюс 0 умножить на 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 0, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 0 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 13, знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента умножить на корень из 2 конец дроби = минус дробь: числитель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби .$ $косинус фи = дробь: числитель: \overrightarrowA_1K умножить на \overrightarrowB_1D, знаменатель: |\overrightarrowA_1K| умножить на |\overrightarrowB_1D_1| конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1 плюс 0 умножить на 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 0, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 0 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 13, знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента умножить на корень из 2 конец дроби = минус дробь: числитель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби .$

Найдем значение выражения $дробь: числитель: 12, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби :$

$дробь: числитель: 12, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 13 конец дроби конец дроби = 12 умножить на дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби = 78.$

Ответ: 78.

Ответ: 78

551

Сложность: V

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	551	78